Balls and Boxes
题目链接
题目大意
现在有n个球丢进m个箱子里,给出了一个V: \[ V=\frac{\sum_{i=1}^m(X_i-\bar X)^2}{m} \] 现在要求这个V的期望。
题解
期望计算
\[ E[V]=E[\frac{\sum_{i=1}^m(X_i-\bar X)^2}{m}] \] \[ \therefore E[V]=(X_i-\bar X)^2 \] \[ \therefore E[V]=({X_i}^2-2X_i\bar X+{\bar X}^2) \] \[ \therefore E[V]=E[{X_i}^2]-{\bar X}^2 \] \[ \therefore E[V]=D[X_i]+E[X_i]^2-{\bar X}^2 \] 最终得到 \[ E[V]=D[X_i] \] 又因为\(X_i\) 其实就是一个二项分布,最后直接套公式就行了,得到最终结果: \[ E[V]=\frac{n(m-1)}{m^2} \]